2024-봄 청화대학 해석학(2) 1분반 중간고사 문제

시험시간: 3시간 [08:30-11:30]

 

문 1. (42=3$\times$14) (본 문제의 목적은 Gauss 분포, 즉 표준정규분포의 적분을 계산하는 것이다.)

다음과 같이 정의하자:

$$S_n := \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\right)^n dx$$

1) $n = 0, 1, 2, 3$에 대해 $S_n$을 계산하시오.

2) $n \geq 2$에 대해 $S_n = \frac{n-1}{n}S_{n-2}$임을 증명하시오.

3) 임의의 $n \geq 0$에 대해 다음을 증명하시오:

$$S_{2n} = \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^2}\frac{\pi}{2}, S_{2n+1} = \frac{2^{2n}\left(n!\right)^2}{\left(2n+1\right)!}$$

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{S_{n+1}} = 1$임을 증명하시오.

5) 다음을 증명하시오.

$$\sqrt{\pi} = \lim_{n \to \infty}2\sqrt{n}S_{2n} = \lim_{n \to \infty}2\sqrt{n}S_{2n+1} = \lim_{n \to \infty}\frac{2^{2n}\left(n!\right)^2}{\sqrt{n}\left(2n\right)!}$$

6) 임의의 $x \neq 0$에 대해 다음을 증명하시오.

$$1-x^2 < e^{-x^2} < \frac{1}{1+x^2}$$

7) 임의의 $n \geq 1$에 대해 다음을 증명하시오.

$$\int_0^1 \left(1-x^2\right)^ndx \leq \int_0^\infty e^{-nx^2}dx \leq \int_0^\infty \frac{dx}{\left(1+x^2\right)^n}$$

8) 임의의 $n \geq 1$에 대해 다음을 증명하시오.

$$\int_0^\infty \frac{dx}{\left(1+x^2\right)^n} = S_{2n-2}$$

9) 임의의 $n \geq 1$에 대해 다음을 증명하시오.

$$\int_0^1 \left(1-x^2\right)^ndx = S_{2n+1}$$

10) 임의의 $n \geq 1$에 대해 다음을 증명하시오.

$$\sqrt{n}S_{2n+1} \leq \int_0^\infty e^{-x^2}dx \leq \sqrt{n}S_{2n-2}$$

11) $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$임을 증명하시오.

12) $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{x^2}{2}}dx = 1$임을 증명하시오.

13) 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 아래의 이상적분이 절대수렴함을 증명하시오.

$$M_n := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^ne^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

14) $M_n$을 계산하시오.

 

문 2. (36=3$\times$12) (본 문제는 Catalan 상수의 정의와 그 응용을 제시한다.)

1) $\arctan x$의 $0$ 근방에서의 Taylor 급수를 구하고, 그 수렴 반경 $\rho$를 계산하시오.

2) $P_n(x)$를 $\arctan x$의 $0$ 근방에서의 $n$차 Taylor 다항식이라 하자. 임의의 $x \in \left(-\rho, \rho\right)$에 대해 다음을 증명하시오.

$$P_n(x) \to \arctan x \left(n \to \infty\right)$$

3) 다음을 증명하시오.

$$P_n(\pm\rho) \to \arctan (\pm\rho) \left(n \to \infty\right)$$

4) $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자:

$$\phi(x) := \begin{cases} \frac{\arctan x}{x} & \text{if } x \neq 0 \\ 1 & \text{if } x = 0 \end{cases}$$

$\phi \in C(\mathbb{R})\cap C^\infty(\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\})$이고 이 함수가 우함수임을 증명하시오.

5) $\phi \in C^\infty(\mathbb{R})$임을 증명하고, $\phi (x)$의 $0$ 근방에서의 Taylor 급수를 구하고 그 수렴반경이 $\rho$임을 증명하시오.

6) $Q_n(x)$를 $\phi$의 $0$ 근방에서의 $n$차 Taylor 다항식이라 하자. 임의의 $x \in \left(-\rho, \rho\right)$에 대해 다음을 증명하시오.

$$Q_n(x) \to \phi (x)$$

7) $Q_n(\pm\rho) \to \phi (\pm\rho) (n \to \infty)$임을 증명하시오.

8) $\|\cdot\|_\infty$를 $C\left[-\rho, \rho\right]$ 위의 상한 노름이라 하자. 다음을 증명하시오.

$$\lim_{n \to \infty}\|Q_n - \phi\|_\infty = 0$$

9) 다음 등식을 증명하시오.

$$\mathscr{C} := \int_0^1 \phi (x)dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$$

$\mathscr{C}$를 Catalan 상수라고 한다.

10) $\mathscr{C}$의 값을 오차범위 $10^{-2}$ 이내로 근사 계산하시오.

11) 다음을 증명하시오.

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin xdx = -\frac{\pi\ln 2}{2}, -\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\tan xdx = \mathscr{C}$$

12) 다음을 증명하시오.

$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\sin xdx = -\frac{\mathscr{C}}{2}-\frac{\pi\ln 2}{4}, \int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln\cos xdx = \frac{\mathscr{C}}{2}-\frac{\pi\ln 2}{4}$$

 

문 3. (30=3$\times$10) (본 문제는 축약사상정리의 상미분방정식에서의 응용을 제시한다.)

연속함수 $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$에 대해 초깃값 문제의 미분방정식

$$\dot{y} = f(x, y), y(0) = a$$

를 고려하자. $0$을 포함하는 한 구간 $I$에 대해 $\varphi : I \to \mathbb{R}$가 $I$ 위에서 미분가능하고, $\varphi (0) = a$이며

$$\varphi '(x) = f(x, \varphi (x)), \forall x \in I$$

를 만족할 때, $\varphi$를 위 초깃값 문제의 해라고 한다.

1) $\varphi : I \to \mathbb{R}$이 연속일 때, $\varphi$가 초깃값 문제의 해라는 명제는 $\varphi$가 다음 적분방정식을 만족하는 것과 동치임을 증명하시오.

$$\varphi (x) = a + \int_0^x f(t, \varphi (t))dt, \forall x \in I$$

2) $I$가 $0$을 포함하는 유계 열린 구간일 때, $\psi \in C(I)$에 대해 새 함수 $\tau_\psi : I \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자:

$$\tau_\psi (x) := a + \int_0^x f(t, \psi(t))dt, x \in I$$

이때 $\tau_\psi \in C(I)$임을 증명하시오.

3) $T : C(I) \to C(I)$를 $T(\psi) := \tau_\psi$로 정의하자. $T$가 연속사상임을 증명하시오. 여기서 $C(I)$에는 상한 노름 $\|\cdot\|_\infty$가 부여된다.

4) $f$가 $y$에 대해 $x$에 대한 균등 Lipschitz 조건을 만족한다고 가정하자. 즉, $L > 0$이 존재하여

$$|f(x, y) - f(x, y')| \leq L|y-y'|, \forall x, y, y' \in \mathbb{R}$$

를 만족한다. 이러한 가정 하에, $T$가 Lipschitz 연속사상임을 증명하시오.

5) 4)와 같이 가정하자. $\delta > 0$이 존재하여 구간의 길이 $|I|$가 $|I| < \delta$를 만족할 때, 위의 초깃값 문제가 구간 $I$ 위에서 유일한 해를 가짐을 증명하시오.

6) $f(x, y) := y, a = 1$를 취하자. $\psi (x) \equiv 1$이라 할 때, 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $T^n(\psi)$를 계산하시오.

7) 6)과 같이 가정하자. 고정된 $\delta > 0$에 대해 $|I| < \delta$일 때, $T$가 축약사상임을 증명하고 $T$의 고정점을 구하시오.

8) 초깃값 문제

$$\dot{y} = y, y(0) = 1$$

의 해가 존재하고 유일하며 $\mathbb{R}$ 위에서 정의됨을 증명하시오.

9) $f(x, y) := x+y, a=1$을 취하자. $\psi (x) \equiv 1$이라 할 때, 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $T^n(\psi)$를 계산하시오.

10) 초깃값 문제

$$\dot{y} = x+y, y(0)=1$$

의 해가 존재하고 유일하며 $\mathbb{R}$ 위에서 정의됨을 증명하시오.

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메모:

문 1은 전반적으로 학생들이 가장 높은 점수를 받은 문항이라고 한다.

문 2의 첫 소문제에서 $\arctan x$의 테일러 급수를 제대로 구하지 못해, 이후 모든 소문제에서 낮게 득점한 학생들이 많았다고 한다.

문 3의 여섯 번째 소문제에서 $T^n(\psi)$는 $n$번 합성한 $T$를 의미하는데, $(T(\psi))^n$으로 이해해 처참하게 득점한 학생들이 여럿 있었다고 한다.

남의 이야기처럼 썼지만 모두 나한테도 해당되는 이야기이기도 하다...

 

출제범위는 V.A.Zorich, Mathematical Analysis 1 및 2의

6. Integration / 7. Functions of Several Variables: their Limits and Continuity / 9. Continuous Mappings (General Theory)

였고, 명시적으로 범위에 들어가지는 않았지만 7장 및 9장과 함께 수업한 10.1. Normed Vector Spaces도 사실상 포함되었으나, 출제범위가 딱히 의미가 있나 싶은 시험이었다.