[공지] 문제풀이-수학 관련

- 이 글은 사실 공지보다는, 아주 오랜만에 쓰는 티스토리에 익숙해지기 위해 쓰는 글에 가깝습니다.

- 따라서, 이 글에 언급된 모든 내용은 지켜지지 않을 수 있습니다.

 

- 이하는 향후 문제풀이 글에서 사용할 책들입니다.

- 괄호가 쳐진 책은, 참고만 할 책들입니다.

- 특별한 언급이 없다면 모든 외서는 국역본 기준입니다.

 

(1) 미분적분학

- THOMAS 미분적분학 14판, 교문사 (이용훈 외 역)

- (스튜어트 미분적분학 Early Transcendentals 8판)

 

본래 저는 스튜어트 미분적분학 Early Transcendentals 8판으로 공부하였으나, 스튜어트를 더 이상 보고 싶지 않아... THOMAS 미분적분학을 구매하였습니다. 우리나라에서는 별로 유명하지 않지만 해외에서는 스튜어트랑 쌍벽을 이루는 책이라고 합니다. 토마스를 본 사람들은 대개 스튜어트보다 토마스를 더 고평가하는 것 같아 개인적으로 궁금하기도 했습니다. 스튜어트는 Early Transcendentals였다 보니 생기는 차이도 있고, 토마스와 스튜어트 자체의 차이도 있어 꾸준히 공부하기만 한다면 나쁘지 않은 선택인 것 같습니다.

 

예컨대, 토마스에서는

$$\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t} dt, x>0$$

으로부터 로그함수를 정의하고 이것의 역함수로 지수함수를 정의합니다. 반면 스튜어트 Early Transcendentals에서는 지수함수와 수 \(e\)를 먼저 정의하고 이로부터 \(\log_e x = \ln x\)를 정의합니다.

 

또한, 토마스에서는 정적분을

함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 정의될 때, 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 \(\delta>0\)가 존재하여 \(\Vert P \Vert<\delta\)인 \([a, b]\)의 분할 \(P = {x_0, x_1, ..., x_n}\)과 각 소구간 \([x_k-1, x_k]\)에 속하는 점 \(c_k\)를 택하는 방법에 관계없이 $$\vert\sum_{k=1}^n f(c_k) \Delta x_k - J\vert < \epsilon$$이 성립할 때 \(J\)로 정의하고 있습니다.

그에 비해 스튜어트 Early Transcendentals에서는, 우리가 고등학교 때부터 배우는 것 그대로

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x$$

로 정의하고 있습니다.

 

이와 같은 수학적 접근의 차이 외에도, 토마스에서는 문제를 연습문제, 복습문제, 종합문제, 보충/심화문제 등으로 분리하고 각 문제가 어떠한 의미를 가지는지를 같이 적고 있어 개인적으로 좀 더 흥미롭습니다.

 

(2) 선형대수학

- 프리드버그 선형대수학 5판, 한빛아카데미 (한빛수학교재연구소 역)

- 최신선형대수(Anton) (고형준 외 역)

 

저는 응용통계학과에 개설된 선형대수 강의를 통해 Anton 책으로 선형대수학을 접했으나, 보다 엄밀한 공부를 위해서는 프리드버그 선형대수학이 필요할 것 같아 구매하였습니다. 아직 공부는 전혀 하지 않았지만, 두 책의 차이는 두 책에 실린 연습문제의 차이를 통해 쉽게 알 수 있습니다.

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(Anton) 주어진 이차형식이 양의 정부호가 되는 \(k\)의 모든 값을 구하라.

$$5x_1^2 + x_2^2 + kx_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3$$

$$3x_1^2 + x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_3 + 2kx_2x_3$$

 

(Anton) 행렬 \(A = \begin{bmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}\)에 대해 행렬 \(A\)는 양의 정부호임을 밝히고 \(A=B^2\)을 만족시키는 두 개의 서로 다른 양의 정부호 대칭행렬 \(B\)를 구하라. 또한, \(A=C^T C\)를 만족시키는 가역 상부삼각행렬 \(C\)를 구하라. [힌트: 우선 \(C\)의 고유값을 구하라.]

 

(프리드버그) 내적공간 \(V\)의 선형연산자 \(T\)를 생각하자. 모든 \(x, y \in V\)에 대하여 \(\langle T(x), y \rangle = 0\)일 때 \(T = T_0\)임을 증명하라. 또한 \(V\)의 기저에 속한 임의의 벡터 \(x, y\)에 대하여 \(\langle T(x), y \rangle = 0\)일 때 \(T = T_0\)임을 증명하라.

 

(프리드버그) 유한 차원 내적공간의 정규연산자 \(T\)를 생각하자. \(T\)가 사영이면 \(T\)는 정사영임을 증명하라.

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아 물론 Anton에도 증명 문제 있고 프리드버그에도 계산 문제 있습니다.. ㅎㅎ 약간의 악마의 편집이 가미됐습니다. 하지만 Anton이 다소 계산, 공학 중심적으로 구성된 책인 것은 사실입니다.

 

응용통계학과 선형대수가 단학기 과정이어서 중간에 생략한 부분이나 급하게 나간 부분이 좀 되기 때문에, Anton 책을 복습하는 과정도 필요할 것으로 생각하고 있습니다.

 

(3) 정수론 및 현대대수학

- 김응태/박승안, 정수론 9판, 경문사.

- 김응태/박승안, 현대대수학 9판, 경문사.

 

(4) 해석학

위의 1~3을 모두 마친 다음에야 진행될 것으로 생각됩니다.

- 김백진, 2018 『맛있는 해석학』, 지오북스.

- STEIN 푸리에 해석학

- STEIN 복소해석학

 

(5) 확률론

역시 위의 1~3을 모두 마친 다음에야 진행될 것으로 생각됩니다.

- Sheldon Ross, 확률의 입문 10판

- 김해경/김태수, 2020 『확률과 통계』, 경문사.

 

(6) 이산수학

해석학 및 확률론과 달리, 1~3과 병행할 수 있습니다.

- Rosen의 이산수학 8판

- (Ralph P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics - An Applied Introduction 5판 [원서])

- (ENV 이산수학)

 

[기타]

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