2023-가을 청화대학 해석학(1) 1분반 중간고사 문제

시험시간: 3시간 30분 [08:30-12:00]

 

문 1. (30=5$\times$6) 다음 수열의 극한 또는 급수의 합을 구하시오. 단, $p(x)$는 다항식이며 $q>1$이다.

 

$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}, \lim_{n \to \infty}\frac{p(n)}{q^n}, \lim_{n \to \infty}\frac{q^{2^n}}{n!}, \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{2023}{n}\right)^n, \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+31n}-n\right)$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$$

 

문 2. (24=2$\times$12) 실수열 $\left\{x_n : n \in \mathbb{N}\right\}$에 대해, 임의의 $m, n \in \mathbb{N}$이 다음을 만족하면 $\left\{x_n\right\}$은 더할 수 있다고 하자.

$$x_{n+m} = x_n + x_m$$

임의의 $m, n \in \mathbb{N}$이 다음을 만족하면 $\left\{x_n\right\}$은 더할 수 있음에 준한다고 하자.

$$x_{n+m} \leq x_n + x_m$$

어떤 $C \geq 0$이 존재하여 임의의 $m, n \in \mathbb{N}$이 다음을 만족하면 $\left\{x_n\right\}$은 더할 수 있음에 거의 준한다고 하자.

$$x_{n+m} \leq x_n + x_m + C$$

$\left\{-x_n\right\}$이 더할 수 있음에 거의 준하면 $\left\{x_n\right\}$은 더할 수 있음을 거의 넘는다고 하자. $\left\{x_n\right\}$이 더할 수 있음에 거의 준하면서 더할 수 있음을 거의 넘는다면, $\left\{x_n\right\}$은 거의 더할 수 있다고 하자.

1) 임의의 실수열 $\left\{x_n\right\}$에 대해 $\liminf_{n \to \infty}\frac{x_n}{n} \geq \inf_{n \in \mathbb{N}}\frac{x_n}{n}$임을 증명하시오.

2) $\left\{x_n\right\}$이 더할 수 있다면, $x_n = nx_1$임을 증명하시오.

3) $\left\{x_n\right\}$이 더할 수 있음에 준한다면, 수열 $\left\{\frac{x_n}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}$이 상계 $x_1$을 가짐을 증명하시오.

4) 더할 수 있음에 준하는 수열 $\left\{x_n\right\}$에 대해 임의의 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $n>m$이라 할 때, $k, r \in \mathbb{N}$에 대해 $n = km + r$이면 $x_n \leq kx_m + x_r$임을 증명하시오.

5) $\left\{x_n\right\}$이 더할 수 있음에 준한다면, $\limsup_{n \to \infty}\frac{x_n}{n} \leq \inf_{n \in \mathbb{N}}\frac{x_n}{n}$임을 증명하시오.

6) $\left\{x_n\right\}$이 더할 수 있음에 준한다면, $\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{n} = \inf_{n \in \mathbb{N}}\frac{x_n}{n}$이고 $x_n \leq An$인 $A \in \mathbb{R}$가 존재함을 증명하시오.

7) $\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{n} \in \mathbb{R}$을 만족하는 더할 수 있음에 준하지만 더할 수 없는 수열 $\left\{x_n\right\}$을 제시해보시오.

8) $\lim_{n \to \infty}{x_n}{n} = -\infty$를 만족하는 더할 수 있는 수열 $\left\{x_n\right\}$을 제시해보시오.

9) 더할 수 있음에 거의 준하는 수열 $\left\{x_n\right\}$에 대해 $\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{n}$이 존재하거나 $\frac{x_n}{n} \to -\infty$임을 증명하시오.

10) 더할 수 있음에 거의 준하지만 더할 수 있음에 준하지 않는 수열 $\left\{x_n\right\}$, $\left\{y_n\right\}$이 각각 $\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{n}$이 존재하고 $\frac{y_n}{n} \to -\infty$이도록 제시해보시오.

11) 거의 더할 수 있는 수열 $\left\{x_n\right\}$에 대해 $A = \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{n}$이 반드시 존재함을 증명하시오. 아울러 $\forall n \in \mathbb{N}$에 대해 $An - B \leq x_n \leq An + B$인 $B > 0$이 존재함을 증명하시오.

12) 수열 $\left\{x_n\right\}$이 거의 더할 수 있음과 어떤 $A \in \mathbb{R}$과 $B > 0$이 존재하여 $\forall n \in \mathbb{N}$에 대해 $An - B \leq x_n \leq An + B$을 만족함이 필요충분조건임을 증명하시오.

 

문 3. (14=2$\times$7) 본 문제는 집합의 기수에 대한 문제이다.

1) 집합의 유한과 무한의 정의를 서술하시오.

2) 공집합이 아닌 $N \subset \mathbb{N}$에 대해 $N$이 유한집합임과 유계집합임이 필요충분조건임을 증명하시오.

3) 공집합이 아닌 집합 $X$에 대해 $X$가 유한집합임과 어떤 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여 $\mathrm{card}X = \mathrm{card}\left\{k \in \mathbb{N} : k \leq n\right\}$을 만족함이 필요충분조건임을 증명하시오.

4) 집합의 가산성과 비가산성의 정의를 서술하시오.

5) $\mathrm{Q}$가 가산집합임을 증명하시오.

6) $[0, 1]$이 비가산집합임을 증명하시오.

7) (Banach-Mazur 게임) Banach와 Mazur가 이하의 게임을 진행한다. B가 $[0, 1]$의 길이가 $l_1 > 0$인 폐구간 $I_1$을 택하고, 그런 다음 M이 길이가 $l_2 > 0$인 $I_1$의 부분구간 $I_2$가 $l_2 \leq \frac{l_1}{2}$를 만족하도록 택한다. 그 다음 B가 길이가 $l_3 > 0$인 $I_2$의 부분구간 $I_3$이 $l_3 \leq \frac{l_2}{2}$을 만족하도록 택하고, ......이와 같이 순환한다. 마지막으로 얻게 되는 폐구간덮개 $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$에 대해 $\left\{x\right\} = \bigcap_{n \geq 1}I_n$이라 하자. $x \in \mathbb{Q}$면 B가 이기고, $x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$면 M이 이긴다. 누가 이길 것이라 생각하는가? 이유를 설명하시오.

 

문 4. (8=2$\times$4) 급수 $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$이 수렴하지만 절대수렴하지 않는다. 다음과 같이 정의하자:

$$\mathbb{I}^+ = \left\{n \in \mathbb{N} : a_n \geq 0\right\}$$

$$\mathbb{I}^- = \left\{n \in \mathbb{N} : a_n < 0\right\}$$

1) $\mathbb{I}^+$, $\mathbb{I}^-$가 모두 가산집합임을 증명하시오.

2) $\sum_{n \in \mathbb{I}^+}a_n = + \infty$ , $\sum_{n \in \mathbb{I}^-}a_n = - \infty$임을 증명하시오.

3) 임의의 $A \in \mathbb{R}$에 대해, 전단사함수 $\phi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$가 존재하여 $b_n = a_{\phi(n)}$인 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 수렴하고 그 합이 $A$임을 증명하시오.

4) 수열 $\left\{\alpha_n : n \in \mathbb{N}\right\}$을 다음과 같이 정의하자:

$$\alpha_n = \sum_{j=1}^{n}|a_j| \left(\mod 1\right), \forall n \in \mathbb{N}$$

$\left\{\alpha_n : n \in \mathbb{N}\right\}$이 $[0, 1]$에서 조밀함, 즉 임의의 $x \in [0, 1]$와 임의의 $\delta > 0$에 대해 $\alpha_n \in \left(x-\delta, x+\delta\right)$가 존재함을 증명하시오.

 

문 5. (8=2$\times$4) $\alpha > 0$을 고정하자. $x_1 > \sqrt{\alpha}$를 취하고 이하의 점화식으로 수열 $\left\{x_n : n \in \mathbb{N}\right\}$을 정의하자:

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{\alpha}{x_n}\right)$$

1) $\left\{x_n : n \in \mathbb{N}\right\}$이 단조감소하고 $\lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{\alpha}$임을 증명하시오.

2) $\epsilon_n = x_n - \sqrt{\alpha}$라 할 때, 다음을 증명하시오:

$$\epsilon_{n+1} = \frac{\epsilon_n^2}{2x_n} < \frac{\epsilon_n^2}{2\sqrt{\alpha}}$$

3) $\beta = 2\sqrt{\alpha}$라 할 때, 다음을 증명하시오:

$$\epsilon_{n+1} < \beta\left(\frac{\epsilon_1}{\beta}\right)^{2^n}$$

4) $\alpha = 3, x_1 = 2$를 취하자. $\epsilon_n < 10^{-100}$인 $n$을 구하시오.

 

문 6. (6=2$\times$3) 무한집합 $S$와 함수 $f: S \to [0, \infty)$에 대해 $S$ 위의 $f$의 무한합을

$$\sum_{s \in S}f(s) = \sup\left\{\sum_{s \in F}f(s): F \subset S\right\}$$

$f$의 지지집합을

$$\mathrm{supp}(f) = \left\{x \in S : f(x) > 0\right\}$$

으로 정의하자. (단, $F$는 유한집합)

1) 다음을 증명하시오: $$\mathrm{supp}(f) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\left\{x \in S : f(x) \geq \frac{1}{n}\right\}$$

2) $\mathrm{supp}(f)$가 비가산집합이면, $\sum_{s \in S}f(s) = +\infty$

3) $\sum_{s \in S}f(s) < \infty$이고, $\mathrm{supp}(f)$가 가산일 때, $\mathrm{supp}(f) = \left\{s_n : n \in \mathrm{N}\right\}$라 하자. $a_n = f(s_n)$이라 정의할 때,

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \sum_{s \in S}f(s)$$

임을 증명하시오.

 

문 7. (7) 공집합이 아닌 집합 $X \subset [0, 1]$이 다음 성질을 만족하도록 구성하시오:

1) $X \subset \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$

2) $x_n \in X$이고 $x_n \to x$이면 $x \in X$

3) 임의의 $x \in X$와 $x$의 근방 $U$에 대해 $U \cap (\mathbb{R} \setminus X) \neq \emptyset$

4) 임의의 $x \in X$와 $x$의 근방 $U$에 대해 $(U\setminus \left\{x\right\}) \cap X \neq \emptyset$

 

문 8. (3) 위 문제에서의 조건 $X \subset \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$을 $X \subset \mathbb{Q}$로 바꾸고, 여타 조건은 그대로 둔다면, 조건을 만족하는 집합은 여전히 존재하는가? 이유를 설명하시오.