청화대학 수학전공 1학년 교과목 목차

 

 

1분반을 기준으로 작성하며, 2/3분반의 진도는 다를 수 있다.

 

작성 내용 중, 한국어에 오역이 있는 경우 지적 매우 환영합니다.

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1. 해석학(1): V.A.Zorich의 진도를 그대로 나간다. 제6장까지 나가는 것이 원칙이나, 23학번 기준 진도 조절의 문제로 제5장까지 수업하였다. 목차는 제5장 제2절까지는 강의안의 명칭을 따랐는데, V.A.Zorich 중문판과 다른 부분은 적다.

 

제1장 통용되는 수학적 개념과 기호

  1) 논리 기호

  2) 집합과 그 연산

  3) 사상

  4) 집합의 기수

 

제2장 실수

  1) 실수의 공리화된 정의와 기본 성질

  2) $\mathbb{R}$의 주요 부분집합과 그 성질

  3) 완비성 공리의 몇 가지 주요 따름정리

  4) 가산집합과 비가산집합 (셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합)

 

제3장 극한 - 실제 내용 비중에 비해 절 단위 목차가 과하게 간략해서 예외적으로 절 아래까지 표기함, 제4장도 마찬가지

  1) 수열의 극한

    [1] 극한 개념의 도입, 정의와 예시

    [2] 수열의 극한의 기본 성질

    [3] 여러 수열의 극한의 존재성 준칙

    [4] 급수의 수렴의 정의와 기본 성질

    [5] Cantor의 실수 구성

  2) 함수의 극한

    [1] 정의와 기본 예시

    [2] 함수의 극한의 기본 성질

    [3] 국소기저의 정의와 국소기저에 관한 극한

    [4] 함수의 극한의 존재성 판단과 함수의 점근

 

제4장 연속함수

  1) 기본 정의와 예시: 연속함수의 정의와 예시, 함수의 불연속점과 그 분류

  2) 연속함수의 성질: 연속함수의 국소적 성질, 연속함수의 대역적 성질

 

제5장 미분

  1) 미분가능함수

  2) 미분의 기본 성질

  3) 미분의 기본 정리

  4) 미분을 활용한 함수 연구

  5) 복소수와 초등함수의 관계

  6) 자연과학적 문제에서의 미분의 활용 예시

  7) 원시함수(역도함수, 부정적분)

 

제6장 적분 (2023년: 진도에서 제외)

  1) 적분의 정의와 적분가능함수의 집합

  2) 적분의 선형성, 가산성과 단조성

  3) 적분과 도함수

  4) 적분의 활용

  5) 이상적분

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2. 해석학(2): 역시 V.A.Zorich의 진도를 그대로 나간다. 원칙상 제7장, 제8장, 제11-14장을 범위로 하나, 23학번 기준 제9장도 수업에 예정되어 있다. 제7장과 제9장을 동시에 나가고, 그 다음 제8장을 나갈 예정이다. 제14장까지 강의가 끝난 후 여유가 된다면 제10장도 수업할 예정이다(그러나 그럴 가능성은 많이 낮다).

 

제6장 적분 (생략)

 

제7장 다변수함수의 극한과 연속성

  1) 공간 $\mathbb{R}^m$과 그 중요 부분공간

  2) 다변수함수의 극한과 연속성

 

제9장 연속사상의 일반 이론

  1) 거리공간

  2) 위상공간

  3) 옹골집합

  4) 연속위상공간

  5) 완비거리공간

  6) 위상공간의 연속사상

  7) 축약사상정리

 

제8장 다변수함수의 미분

  1) $\mathbb{R}^m$의 선형적 구조

  2) 다변수함수의 미분

  3) 기본 미분 법칙

  4) 다변수 실함수에 대한 미분의 기본 내용

  5) 음함수 정리

  6) 음함수 정리의 따름정리

  7) $\mathbb{R}^n$에서의 곡면과 제약된 극값 이론(Theory of Extrema with Constraint)

 

제11장 중적분

  1) $n$차원 구간 위의 리만적분

  2) 집합 위의 적분

  3) 적분의 일반적 성질

  4) 중적분을 반복적분으로

  5) 중적분에서의 변수 치환

  6) 이상중적분

 

제12장 $\mathbb{R}^n$에서의 곡면과 미분형식

  1) $\mathbb{R}^n$에서의 곡면

  2) 곡면의 방향

  3) 곡면의 경계와 그 방향

  4) 유클리드 공간에서의 곡면의 면적

  5) 미분형식의 기초 지식

 

제13장 선적분과 면적분

  1) 미분형식의 적분

  2) 체적소(volume element), 제1종 적분과 제2종 적분

  3) 해석학의 기본 적분 공식

 

제14장 벡터해석학과 장론

  1) 벡터해석학의 미분 연산

  2) 장론의 적분 공식

  3) 퍼텐셜 장

  4) 응용 사례

 

제10장 일반화된 관점에서의 미분

  1) 선형 노름공간

  2) 선형변환과 다중선형변환

  3) 사상의 미분

  4) 유한증분정리와 그 응용 사례

  5) 고계도함수

  6) 테일러 공식과 극값의 연구

  7) 일반화된 음함수 정리

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3. 고등선형대수(1): 복단대학 교재를 쓰지만, 교재는 행렬식-행렬-선형공간-선형사상 순으로 다루고 있지만 수업에서는 진도를 뒤집어 선형연립방정식-행렬대수-행렬식-선형공간-선형사상 순으로 다룬다.

 

제1장 선형연립방정식 - 교재에 없는 단원이며, 제2장~제5장의 맛보기 소개 느낌이다.

  1) 수체 (Number fields)

  2) 선형연립방정식, 가우스 소거법과 행렬

  3) $n$차원 벡터공간

  4) 행렬의 계수(rank)와 선형연립방정식의 해 판별 준칙

 

제2장 행렬대수

  1) 행렬의 연산

  2) 가역행렬

  3) 행렬의 기본행연산과 기본행렬

  4) 블록행렬

 

제3장 행렬식

  1) 2차 및 3차 정방행렬의 행렬식

  2) n차 정방행렬의 행렬식의 정의와 기본 성질

  3) 행렬식의 전개와 크라메르 법칙

  4) 행렬식의 동치적 정의 (Equivalent definitions of a determinant)

  5) 라플라스 정리와 코시-비네 공식

 

제4장 벡터공간/선형공간

  1) 벡터공간의 정의와 예시

  2) 벡터의 선형종속성, 기저와 차원

  3) 좌표와 기저변환

  4) 부분공간의 교집합과 합

  5) 몫공간

  6) 벡터공간의 동형성

 

제5장 선형사상과 선형변환

  1) 선형사상의 정의와 그 연산

  2) 선형사상의 상(image)과 핵(kernel)

  3) 선형사상과 행렬

  4) 선형변환과 불변부분공간

 

제6장 다항식 - 한국에서는 일반적으로 선형대수에서 다루지 않는, 현대대수 내용이다.

  1) 일변수 다항식 대수와 다항식의 나누어떨어짐

  2) 최대공약수

  3) 기약다항식과 인수분해

  4) 다항함수와 다항식의 근

  5) 복소계수와 실계수 다항식

  6) 유리계수와 정수계수 다항식

  7) 다변수다항식

  8) 대칭다항식

  9) 종결식(resultant)과 판별식(discriminant)

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4. 고등선형대수(2): 전반부 진도가 교재와 판이했던 고등선형대수(1)과 달리, 기본적으로 교재의 흐름을 따라갈 예정이다. 단, 목차 기준은 교재가 아닌 과거 강의안이며, 아래를 보면 알 수 있듯 후반부 진도 중에는 교재에서는 간략히 언급된 내용을 자세히 다루는 것들이 있는 듯하다. 뒤 두 단원은 교재와 강의안의 목차가 상당히 다르다.

 

제7장 고윳값과 고유벡터

  1) 고윳값과 고유벡터

  2) 대각화

  3) 최소다항식과 케일리-해밀턴 정리

 

제8장 닮음표준형(Canonical form of matrices under similarity)

  1) 다항식행렬 (혹은 λ-행렬)

  2) λ-행렬의 스미스 표준형

  3) 불변인자와 프로베니우스 표준형(유리표준형)

  4) 기본인자(elementary divisor)와 광의의 조르당 표준형

  5) 조르당 표준형

  6) 조르당 표준형의 응용

  7) 행렬함수

 

제9장 이차형식

  1) 이차형식과 행렬의 합동

  2) 이차형식의 축소(reduction)

  3) 복소이차형식, 실이차형식과 실베스터 관성 법칙

  4) 양정(positive definite) 이차형식과 양정 행렬

  5) 에르미트 형식

 

제10장 유클리드 공간과 유니타리 공간 - 교재의 단원 제목은 "내적공간". 유니타리 공간에 대한 내용이 강의에 많이 보강된 듯하다.

  1) 벡터의 내적과 유클리드 공간

  2) 정규직교기저와 직교행렬

  3) 유클리드 공간의 동형성과 직교변환

  4) 수반변환(adjoint transformation)과 대칭변환

  5) 실정규행렬의 직교닮음표준형

  6) 실행렬의 특잇값분해와 극분해

  7) 유니타리 공간 1: 정의, 정규직교기저와 유니타리 행렬

  8) 유니타리 공간 2: 유니타리 변환, 수반변환과 에르미트 변환

  9) 유니타리 공간 3: 복소정규변환, 특잇값분해와 극분해

 

제11장 쌍선형형식과 텐서곱 - 교재의 단원 제목은 "쌍선형형식". 텐서곱에 대한 내용이 강의에 많이 보강된 듯하다. 소단원은 하나뿐이지만, 강의안의 절반이 텐서곱 내용이다.

  1) 선형함수와 쌍대공간

  2) 쌍선형함수

  3) 심플렉틱 공간과 직교공간(symplectic and orthogonal spaces)

  4) 벡터공간의 텐서곱

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5. 기하와 대칭: 1학기 전공선택과목이며, 매해 담당교수와 함께 교육과정이 바뀐다. 본문은 23학번 기준. 제3장부터 제목이 없어졌다. 수강하지 않았기 때문에 정확히 모른다.

 

제1장 정다면체

  1) 정다각형

  2) 정육면체

  3) 정사면체

  4) 정이십면체

 

제2장 군의 개념

  1) 군의 정의

  2) 2차원 유클리드 평면상의 등거리변환군

  3) 대칭군

 

제3장

  1) 군의 준동형

  2) 대칭군

 

제4장

  1) 교대군과 대칭군의 생성부분집합

  2) 군의 작용

  3) Burnside 보조정리

 

제5장

  1) 정사면체

  2) 정육면체와 정팔면체

  3) 정십이면체와 정이십면체

  4) 유클리드 공간의 등거리변환군

 

제6장

  1) Cartan-Dieudonne 정리

  2) $SO(3)$의 유한부분군

 

제6장 - 중복 표기, 하단 목차는 대응되는 한국어 용어를 몰라 그대로 놔두었다.

  1) 斜状格点

  2) 长方状格点

  3) 中心长方状格点

  4) 正方状格点

 

제10장 구면 기하와 뫼비우스 변환 - 별도의 절이 없음

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6. 초등정수론: 아직 교재, 강의안 등에 대해 아는 바가 없어 생략한다.