2023-가을 청화대학 해석학(1) 1분반 기말고사 문제

 

 

시험시간: 3시간 [14:30-17:30]

 

문 1. (27=3$\times$9) (본 문제의 목적은 Stone-Weierstrass 정리 - 다항함수는 연속함수공간에서 조밀하다 - 를 증명하는 것이다. 여기서는 Bernstein의 근사 방법을 채용한다.)

$C[0, 1]$ 위에서 함수(노름) $\|\cdot\|: C[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^+$를 다음과 같이 정의하자:

$$\|f\| := \max_{x \in [0,1]}|f(x)|, f \in C[0,1]$$

1) $\|\cdot\|$이 이하의 성질을 만족함을 증명하시오.

  i) $\|f\| = 0$은 $f(x) \equiv 0$과 동치이다.

  ii) 임의의 $\lambda \in \mathbb{R}$에 대해 $\|\lambda f\| = |\lambda|\|f\|$

  iii) $\|f+g\| \leq \|f\| + \|g\|$

2) $x \in [0, 1], n \in \mathbb{N}$에 대해 $W_{x, n}: \left\{0, 1, \cdots, n\right\} \rightarrow \mathbb{R}^+$을 다음과 같이 정의하자:

$$W_{x, n}(j) := {n \choose j}x^j(1-x)^{n-j}, {n \choose j} = \frac{n!}{j!(n-j)!}$$

이때 $W_{x, n}$이 확률벡터, 즉 $W_{x, n}(j) \geq 0$이고 $\sum_{j=0}^n W_{x, n}(j) = 1$임을 증명하시오.

3) $\sum_{j=0}^n jW_{x, n}(j) = xn$임을 증명하시오.

4) $\sum_{j=0}^n j(j-1)W_{x, n}(j) = x^2n(n-1)$임을 증명하시오.

5) 임의의 $x \in [0, 1]$에 대해 다음을 증명하시오.

$$\sum_{j=0}^n \left(x-\frac{j}{n}\right)^2 W_{x, n}(j) \leq \frac{1}{4n}$$

6) $\epsilon \in (0, 1)$에 대해 $I_{x, n, \epsilon} := \left\{0 \leq j \leq n : \left|x-\frac{j}{n}\right| \geq \epsilon\right\}$이라 하자. 다음을 증명하시오.

$$\sum_{j \in I_{x, n, \epsilon}} W_{x, n}(j) \leq \frac{1}{4n\epsilon^2}$$

7) $\epsilon \in (0, 1), f \in C[0, 1]$에 대해 임의의 $x \in [0, 1]$이 다음을 만족함을 증명하시오.

$$\sum_{j=0}^n \left|f\left(\frac{j}{n}\right) - f\left(x\right)\right| W_{x, n}(j) \leq \frac{\|f\|}{2n\epsilon^2} + \omega\left(f, [x-\epsilon, x+\epsilon]\right)$$

8) 임의의 $f \in C[0, 1]$에 대해 $f$의 $n$계 Bernstein 다항식을 다음과 같이 정의하자.

$$B_n(f)(x) := \sum_{j=0}^n f\left(\frac{j}{n}\right) W_{x, n}(j)$$

아울러 $\omega(f, \epsilon) := \sup_{x \in [0, 1]} \omega(f, [x-\epsilon, x+\epsilon])$로 정의하자. 다음을 증명하시오.

$$\|f - B_n(f)\| \leq \frac{\|f\|}{2n\epsilon^2}+\omega(f, \epsilon)$$

9) 임의의 $f \in C[0, 1]$에 대해 다음을 증명하시오.

$$\lim_{n \to \infty}\|f - B_n(f)\| = 0$$

 

문 2. (33=3$\times$11) 함수 $G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 $G(x) := e^{-\frac{x^2}{2}}$로 정의하자.

1) $G$가 $\mathbb{R}$ 위에서 균등연속임을 증명하시오.

2) $G$의 단조성과 볼록성을 조사하시오.

3) $G$의 그래프를 그리시오.

4) $G$의 $0$ 근방에서의 Taylor 급수를 구하시오. 이 Taylor 급수의 수렴반경이 $+\infty$이고 $G$와 그 Taylor 급수가 모든 곳에서 동일함을 증명하시오.

5) $G$의 $0$ 근방의 $n$계 Taylor 다항식 $P_n(0;x)$이 다음을 만족하도록 하는 $n \in \mathbb{N}$를 찾으시오.

$$\max_{x \in [-2, 2]} |P_n(0;x) - G(x)| \leq 10^{-3}$$

6) $G$의 원시함수가 존재함을 증명하시오.

7) $F$를 $F(0)=0$을 만족하는 $G$의 원시함수라 하자. $F$의 단조성과 볼록성을 조사하시오.

8) $-\infty < \lim_{x \to -\infty}F(x) < \lim_{x \to +\infty}F(x) < +\infty$임을 증명하시오.

9) $F$의 그래프를 그리시오.

10) 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $G^{(n)}(x) = P_n(x)G(x)$인 다항식 $P_n(x)$가 존재함을 증명하시오.

11) 임의의 $n$에 대해 $G^{(n)}$이 균등연속임을 증명하시오.

 

문 3. (60=3$\times$20) (본 문제의 목적은 Legendre 변환을 상세히 다루는 것이다)

영공간이 아닌 공간 $I \subset \mathbb{R}$에 대해 $f : I \to \mathbb{R}$이 연속함수이다. 함수 $f^* : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{+\infty\right\}$를 다음과 같이 정의하자:

$$f^*(t) := \sup_{x \in I}(tx - f(x))$$

아울러 $I^* := \left\{t \in \mathbb{R} : f^*(t) \neq +\infty\right\}$로 정의하자.

1) $f^*(t)$의 기하적 의의를 서술하시오.

2) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$인 $f(x) = -x^2$에 대해 $I^* = \emptyset$임을 증명하시오.

3) $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$인 $f(x) = ax+b$에 대해 $I^* = \left\{a\right\}$임을 증명하고 $f^*(a)$를 계산하시오.

4) $I^*$가 최소 두 점을 포함하도록 $f$를 정의할 때, $I^*$가 구간이고 그 길이가 $|I^*| > 0$임을 증명하시오. 더 나아가, $f^*$가 $I^*$ 위의 볼록함수임을 증명하시오.

5) $|I^*| > 0$이라 하자. $I^*$가 개구간일 수도, 폐구간일 수도, 반개반폐구간일 수도 있음을 예를 들어 설명하시오.

6) $f$가 $I$ 위의 볼록함수이고 $I$ 위에서 미분가능할 때, $t_0 = f'(x_0)$에 대해 다음을 증명하시오.

$$f^*(t_0) = f'(x_0)x_0 - f(x_0)$$

아울러 $\left\{f'(x) : x \in I\right\} \subset I^*$임을 증명하시오.

7) $1 < p < \infty$에 대해 $f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$을 $f(x) := \frac{x^p}{p}$로 정의하자. $I^*$와 $f^*(t)$를 계산하시오.

8) 위 7)에서 얻은 $f^* : I^* \rightarrow \mathbb{R}$에 대해 $I^{**} := (I^*)^*$와 $f^{**} := (f^*)^*$을 계산하시오.

9) 함수 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 $f(x) := e^x$로 정의하자. $I^*$와 $f^*(t)$를 계산하시오.

10) 위 9)에서 얻은 $f^* : I^* \rightarrow \mathbb{R}$에 대해 $I^{**}$와 $f^{**}$를 계산하시오.

11) $I^* \neq \emptyset$이도록 하는 $f$에 대해, 임의의 $x \in I, t \in I^*$에 대해 다음을 증명하시오.

$$xt \leq f(x) + f^*(t)$$

이 부등식을 7)과 9)의 함수에 나누어 적용하고, 상응하는 부등식을 도출하고, 등식의 성립 조건을 설명하시오.

12) $|I| > 0$이고, $f$가 $I$ 위에서 볼록함수이며 $I$ 위에서 미분가능하다고 하자. $I \subset I^{**}$이고 $f^{**}|_I = f$임을 증명하시오.

13) $f(x) = |x| + 1$ ($|x| \leq 1$)이라 하자. $I^*$와 $f^*$을 구하시오.

14) 위 13)에서의 함수에 대해 $I^{**}$와 $f^{**}$을 구하시오.

15) $|I| > 0$이고, $f$가 $I$ 위에서 연속인 볼록함수라 하자. 임의의 $I$의 끝점이 아닌 $x_0 \in I$를 택하고, $t \in [f'(x_0-), f'(x_0+)]$라 하자. 다음을 증명하시오.

$$(\forall x \in I), t(x-x_0)+f(x_0) \leq f(x)$$

아울러 이를 통해 $t \in I^*$이고 $f^*(t) = tx_0 - f(x_0)$임을 증명하시오.

16) $|I| > 0$이고, $f$가 $I$ 위에서 연속인 볼록함수라 하자. $a, b$가 각각 $I$의 왼쪽, 오른쪽 끝점이라 할 때, 다음과 같이 정의하자:

$$t_* := \lim_{x \to a+}f'(x-), t^* := \lim_{x \to b-}f'(x+)$$

이때 $(t_*, t^*) \subset I^*$이고 $f^{**}|_I = f$임을 증명하시오.

17) $0 < p_1 \leq p_2 \leq p_3 < 1$이고 $p_1 + p_2 + p_3 = 1$이라 하자. 함수 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 $$f(x) := \ln (p_1^x + p_2^x + p_3^x)$$

로 정의할 때, $f$가 무한 번 미분가능하고 단조감소하며 볼록함수임을 증명하시오. $f$는 어떤 경우에 강볼록한가?

18) $f$를 17)과 같이 정의할 때, $t_* = \lim_{x \to -\infty}f'(x)$이고 $t^* = \lim_{x \to +\infty}f'(x)$을 구하시오.

19) $f$를 17)과 같이 정의할 때, $I^* = [t_*, t^*]$임을 증명하고 $f^*(t_*)$와 $f^*(t^*)$을 구하시오.

20) $f$를 17)과 같이 정의할 때, $f^*$가 극솟값을 가짐을 증명하고 극솟값을 구하시오. $f^*$의 그래프를 그리시오.

 

문 4. (10) $q \in \mathbb{N}$이고 $q > 1$이라 할 때, $e^q$가 무리수임을 증명하시오.